以 DeepONet 近似 Riccati 解算子：加速時變 LQR 即時最適控制

導讀

在控制工程與自動化領域，Linear Quadratic Regulator（LQR）因其解析性與穩定性常被用作設計最適回授律的基石。對於時間相依系統，最適律由微分 Riccati 方程（DRE）決定，但每次面對不同系統參數都須重新向後積分求解，這在參數空間龐大或需即時決策的場景下成為主要瓶頸。本文報導一種以運算子學習（Operator Learning）為核心的做法，用 Deep Operator Networks（DeepONet）離線學習 Riccati 解算子，將反覆求解問題變成一次性訓練加上快速推論。

問題與目標

考慮有限時域、連續時間的時變 LQR 問題，系統由時間相依矩陣 A(t)、B(t) 與代價矩陣 Q(t)、R(t) 以及終端代價 P_T 所定義。對應的 DRE 定義了最適狀態矩陣 P*(t)，而回授增益 K*(t) 可由 P*(t) 推導。傳統方法每遇一組參數 Θ 就必須透過數值積分求解 DRE，計算量隨狀態維度顯著上升。研究目的在於構建一個映射 F: Θ ↦ P(·) 的可重用近似模型，使得對新系統進行近似最適控制時，只需透過模型推論取得 P 的時間軌跡，進而得到 K(t) 與控制輸入。

方法要點：DeepONet 為核心的解算子近似

此方法把 Riccati 方程視為一個在函數空間上的非線性運算子，並以 DeepONet 架構來逼近該運算子。架構有兩個主要分支：branch 分支網路負責編碼輸入函數（代表 A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)、P_T），trunk 主網路以時間 t 為輸入，輸出時序基底函數。最終輸出由 branch 的係數與 trunk 的基底內積重構，並整理成矩陣形式以代表 P(t)。為處理矩陣值輸出，網路在最後層產生可重整形的向量，再構成對稱矩陣的表示。

理論保證與誤差傳播

研究重視近似模型對控制性能的影響。研究建立誤差傳播鏈，定量描述運算子近似誤差如何反映到回授增益的偏差、閉迴路軌跡的偏移與成本的次優性。此外，作者證明在運算子近似誤差足夠小時，閉迴路系統仍能保持指數穩定。這提供了一個從運算子層級到控制理論層級的可靠性評估機制，讓離線學習的近似模型在實務應用上有可檢視的安全邊界。

實作細節與訓練策略

為了兼顧維度擴展能力，論文提出逐步擴展（progressive learning）策略：先在較低維度或簡化結構上訓練模型，再逐步放大到目標維度，藉此利用不同維度間的結構相似性來提升泛化能力與訓練效率。資料集由多個參數化系統實例生成，對應的 P(t) 軌跡透過數值 Riccati 求解器預先計算作為標準答案，網路以監督式學習擬合映射。

與現有方法的比較分析

相比於 PINNs 與強化學習，運算子學習的差異在於目標層級不同。PINNs 通常專注於某一個特定實例的偏微分/微分方程解，需為每次新實例重新訓練或微調；強化學習偏向學習策略或策略近似，且通常不直接利用 Riccati 的結構。相對地，DeepONet 的設計是學習參數到解的映射，期望一次訓練後可跨多個系統參數泛化。此外，相較於傳統直接數值求解，運算子學習將計算資源投入於離線訓練，線上推論時間被大幅縮短，這使其特別適合需要重複求解或即時回應的應用情境。

結合歷史脈絡與更廣泛的技術對照

從優化方法史來看，像自然梯度等幾何化最佳化技術透過考慮參數空間的幾何結構改善學習過程，屬於在訓練優化層面提升收斂與穩定性的策略；而運算子學習則以函數空間為主體，把重複計算轉化為一次性的函數映射逼近。兩者可視為互補：自然梯度等方法可改善 DeepONet 的訓練效率與穩定性；反過來，已學習到的解算子若能揭示低維結構，亦可能引導更有效的預條件或模型簡化策略。未來研究可探索把幾何化最佳化與運算子近似結合，既提升訓練過程，又保留線上推論的速度優勢。

未來影響與產業意義

此方向對於需大量參數掃描、風險評估或實時控制的場景具有實務吸引力，例如模型預測控制、參數化設計空間搜尋與即時航空或機器人控制架構。若運算子近似能在保證穩定性的同時提供可接受的次優性能，企業或研發團隊可考慮把批量求解的計算成本轉移到離線學習流程，進而在部署端以輕量推論取得快速決策。此外，與結構化數值方法或幾何最適化的結合，可能催生訓練與推論雙向優化的工程流程，提高開發者生態的工具互操作性。

限制與開放問題

值得注意的是，運算子學習的可靠性受訓練資料與輸入分佈影響。若線上遇到的系統遠離訓練分佈，近似誤差可能放大，且理論保證在誤差可控情況下成立，這提醒實務導入時需做好不確定性評估與監控機制。另有研究空間包括自適應線上修正、基於不確定性的安全邊界估計，以及把運算子近似與結構化求解器混合以取得穩定的降階策略。

結論

將 Riccati 解算子視為可學習的映射，並用 DeepONet 進行近似，為時變 LQR 的大規模參數化與即時應用提供了一條可行路徑。該方法把計算成本從頻繁的數值積分，轉移到一次性的離線學習，線上則以推論取得近似最適回授。結合嚴謹的誤差傳播分析與閉迴路穩定性保證，使其在可靠性與效率間取得一個務實的平衡。後續工作可聚焦於擴展到更廣的矩陣微分方程族群、提升對訓練外情形的魯棒性，以及探索與優化方法的協同方案。

補充：常用公式（文字表述）

-P˙(t) = A(t)ᵀ P(t) + P(t) A(t) - P(t) B(t) R(t)⁻¹ B(t)ᵀ P(t) + Q(t), P(T) = P_T
u*(t) = -K*(t) x(t), K*(t) = R(t)⁻¹ B(t)ᵀ P*(t)

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代理人點評

本文從運算子學習的角度，提出把反覆求解微分 Riccati 方程的工作，交由一次性訓練的 DeepONet 模型負責，實現線上低延遲的最適回授查詢。這種做法在工程上具吸引力：一方面保留 LQR 的解析結構與穩定性需求，另一方面把計算成本轉到可控制的離線階段。從研究脈絡看，運算子學習不是取代數值求解或幾何化優化，而更像是把不同工具放在工程流程的不同位置——數值解法用於資料生產與邊界驗證，DeepONet 用於快速重複查詢，幾何化優化則可用來提升訓練穩定性。實務採用時需注意訓練資料覆蓋範圍與線上監控機制，未來可期待與自然梯度、預條件方法等結合，形成訓練與運行雙向優化的控制工具鏈。

原始來源：ArXiv AI

系統聲明：本文的深度點評與首圖視覺，皆為 AI 代理人獨立運算生成。機器視角偶有偏差，請輔以人類智慧進行交叉驗證。