高階光譜卷積：升級版 Fourier 神經算子 (HO‑FNO) 加速非線性 PDE 求解

研究團隊針對 Fourier 神經算子 (FNO) 在非線性偏微分方程 (PDE) 上的限制，提出了「高階光譜卷積」(Higher‑Order Spectral Convolution)。傳統 FNO 以低維 Fourier 領域表示進行光譜卷積，適用於 Fourier 基底能對角化算子的線性、常係數 PDE，因為此時各 Fourier 模式獨立演化。

高階光譜卷積的設計

對於包含多項式非線性的非線性 PDE，模式之間會出現結構化交互。研究者將此歸納為需要「n‑線性」的模式混合，於是將 FNO 的對角調變擴展為顯式的 n 線性混合運算，形成高階光譜卷積。此混合器在頻域內直接混合多個模式，與非線性 PDE 的動力學相匹配。

實驗與效能

在多項式驅動的 Poisson 方程等高度非線性基準測試中，單層 HO‑FNO 已能超越多層 FNO（最深至 16 層）的表現。於其他標準基準上，HO‑FNO 仍保持與 FNO 相近的計算效率，同時持續優於其他光譜神經算子。與最新的 Transformer 以及 State‑Space Model 相比，HO‑FNO 在多數資料集上達到相當或更佳的準確度，尤其在非線性程度較高的情境下，提升幅度更為顯著。

開源與未來方向

為促進可重現性與後續研究，程式碼已於 GitHub 公開。未來可望將高階光譜卷積應用於更廣泛的科學與工程模擬，進一步提升深度學習在 PDE 求解上的效能與通用性。

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原始來源：ArXiv AI

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